ЛАб.раб. №1 1Г10 подгруппа 2 (8.11)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт — ИНК

Направление подготовки (специальность) – Управление качеством

Кафедра — ФМПК

ОТЧЕТ

по лабораторной работе

Обработка данных при помощи полинома Логранжа

по дисциплине «Обработка сигналов»

Выполнили студенты гр. 1Г10: Игнатенко К.В.

Сидельцева Х.Е.

Абросимова Е.С.

Елисеева Е.Ю.

Попиякова Н.П.

Буреева М.С.

Отчет принят: Мойзес Б.Б.

Томск 2013 г.

Лабораторная работа №1

Цель: Обработка данных при помощи полинома Лагранжа.

Задание:

Построить полином Лагранжа для данных функций по заданным узлам.

Определить значения полинома Лагранжа для двух промежуточных значений х по выбору студента.

Определить абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Теоретическая часть.

Интерполяция – это способ нахождения промежуточных значений величины по дискретному набору известных значений.

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для  пар чисел , где все  различны, существует единственный многочлен  степени не более , для которого .

В простейшем случае () — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

 обладают следующими свойствами:

являются многочленами степени 

 при 

Отсюда следует, что , как линейная комбинация , может иметь степень не больше , и 

Рис.1

Контрольные вопросы:

Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:

Функция f(x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например, f(x) является спецфункцией: гамма-функцией, эллиптической функцией и др.).

Аналитическое описание функции f(x) неизвестно, т. е. f(x) задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x) (например, для вычисления значений f(x) в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x) и т. п.).

Одной из важнейших задач численного анализа является задача интерполяции функции: требуется восстановить функцию f(x) для всех значений x [a, b] если известны её значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Эти известные значения, как правило, находятся в результате наблюдений или измерений в каком — то эксперименте либо в результате каких — то вычислений.

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

Значение интерполяционного полинома совпадает со значением заданной функции  только в узлах интерполяции. В остальных точках интерполяционный полином отличается от  на величину

 , называемую остаточным членом.

 ,

где

, полином степени .

Вывод: В ходе лабораторной работы построили полином Лагранжа, определили значение полинома для промежуточных значений. Нашли относительную погрешность.