Лаб 3

Робота 3.1. Вивчення фізичного маятника

Теоретична довідка

Фізичним маятником називають будь-яке тверде тіло, яке може вільно коливатись навколо горизонтальної осі під дією сили тяжіння. Рух такого маятника описується рівнянням:

(1)

Де Jмомент інерції маятника, ϕ – кут відхилення центра мас маятника від положення рівноваги, M – момент сил, що діють на маятник, t – час (рис 3.2). Наприклад, для однорідного стержня довжиною l за теоремою Гюйгенса-Штейнера момент інерції дорівнює

де m – маса маятника, s – відстань між центром мас та віссю обертання.

Момент сили тяжіння, що діє на маятник знаходиться за формулою

Якщо кут ϕ малий, тоді , і

Добре налагоджений маятник може зробити кілька сот коливань без помітного згасання, тому моментом сил тертя в першому наближенні можна знехтувати. Підставляючи вираз для M в (1), легко отримати рівняння для коливань

(2)

з частотою

(3)

Рівняння (2) описує гармонічні коливання, що відбувається за законом . Амплитуда коливань A та їх фаза залежать від способу збудження коливань, тобто від початкових умов. Власна частота коливань , згідно з (3), визначається тільки параметрами маятника J та s.

Період коливань фізичного маятника , як і його частота, не залежить від фази та амплітуди коливань і дорівнює

(4)

Рух маятника описується рівнянням гармонічних коливань (2) лише за умови малих амплітуд, а саме, коли . Слушність такого припущення можна перевірити експериментально, впевнившись у незалежності періоду коливань від амплітуди.

Якщо внести поначення

(5)

то формула (4) буде мати такий самий вигляд, як і формула для періоду коливань математичного маятника з довжиною L:

(6)

Тому величину L називають зведеною довжиною фізичного маятника. Точку , що віддалена від точки опори O на відстані L, називають центром гойдання фізичного маятника. Точка опори на центр гойдання маятника взаємні, тобто при гойданні маятника навколо точки період коливань повинен бути таким самим, як підчас гойдання навколо точки O. Пропонуємо довести цей факт самостійно.

Мета: Визначення прискорення вільного падіння за допомогою оборотного маятника.

Устаткування:

фізичний маятник (однорідний сталевий стержень з парою вантажів та призм); штатив для підвісу маятника; математичний маятник; лічильник коливань; секундомір; масштабна лінійка.

Теоретичні основи експерименту

В даній роботі використовується метод знаходження прискорення вільного падіння за допомогою визначення періоду вільних коливань фізичного маятника за формулами (4), (6).

Тут J – момент інерції маятника відносно осі гойдання, m – його маса, s – відстань від центра мас до осі обертання, L – зведена довжина фізичного маятника.

Масу маятника та період його коливань можна визначити з досить високою точністю. Але зробити це для моменту інерції досить важко. Уникнути цих труднощів допомагає метод оборотного маятника. В ньому замість величини J міряють зведену довжину маятника (5).

Цей метод заснований на тому факті, що період коливань фізичного маятника не зміниться, якщо перечепити його так, що новою точкою підвісу стає колишній центр гойдання. Ця точка знаходиться якраз на відстані, рівній зведеній довжині фізичного маятника від осі гойдання та на одній прямій з віссю гойдання і центром мас.

Оборотний маятник, застосований у цій роботі, складається із сталевого стержня на якому закріплено два вантажі і , кожен масою m, та дві опорні призми та (рис 3.3).

Припустимо, що нам вдалося знайти такі положення вантажів, при яких періоди коливань маятника T1 та T2 навколо призм П1 та П2 співпадають, тобто

= (7)

Ця рівність можлива за умови рівності зведених довжин L1 та L2 . З іншого боку за теоремою Гюйгенса – Штейнера

(8)

де – момент інерції маятника відносно осі, що продить крізь центр мас паралельно осі гойдання. Виключивши з формул (7), (8) , та використовуючи (4) знаходимо, що

(9)

Таким чином, згідно з (6), . Зверніть увагу, що формулу (9) виведено із формул (7), (8) за умови , інакше формули (7) та (8) задовольняються тотожньо.

Виводячи формулу (9), ми нехтували різницею між періодами . Насправді, домогтися того, щоб вказані періоди співпадали неможливо, адже

(10)

Звідки маємо

,

Враховуючи це, отримаємо більш точну формулу для g

, (11)

де введено період

(12)

Проаналізуємо межі застосування нашої теорії. Для цього розглянемо похибку визначення , яка сама залежить від похибок вимірювання періодів :

, (13)

При непоганому обладнанні, коли маємо

(14)

Зауважимо, що при похибка значно зростає і це відбивається на точності значення g. Тому значення не повинні бути дуже близькими. З іншого боку, якщо ці величини дуже відрізняються, то, період коливань істотно збільшується, отже, збільшується час спостереження і, відповідно, роль сил тертя. Таким чином, під час виконання експерименту треба слідкувати за тим, щоб відношення було не дуже великим і не дуже малим, рекомендований інтервал

. (15)

Експериментальні подробиці.

Система для визначення періоду коливань складається із елекетронного секундоміра та лічильника періодів. Лічильник періодів працює так. Підчас коливань стержень перетинає вісь фотодатчика і таким чином посилає сигнал на лічильник. Лічильник реєструє кожен другий імпульс. Оскільки протягом періоду маятник прходить через будь-яке положення двічі, то таким чином показ лічильника відповідає кількості періодів. Лічильник періодів вимикається кнопкою «Сброс», яка разом з цим виводить на нуль покази вимірювача. Одночасно з лічильником вмикається електронний секундомір. На цифровому табло лічильника періодів можна спостерігати кількість зроблених маятником коливань (від моменту вмикання вимірювача). Вмикання кнопки «Стоп» призводить до зупинки лічильника періодів і секундоміра після проходження маятником ще одного положення рівноваги. Тому за необхідності дослідити певну кількість періодів (припустимо, 10) кнопку «Стоп» слід натискати в той момент, коли цифрове табло показує кількість періодів на одиницю менше за необхідну (в наведеному прикладі, 9).

Таким чином, рекомендований порядок вимірювання такий:

А) відхиливши стержень від положення рівноваги, збуджуємо коливання;

Б) вмикаємо кнопку «Сброс»;

В) при необхідності виміряти час n коливань (для грубих вимірів , для точних періодів) вмикаємо кнопку «Стоп» в той момент, коли на табло кількості періодів з’явиться число ;

Г) визначаємо період одного коливання, поділивши зареєстрований секундоміром час спостерігання на кількість періодів.

Власна похибка вимірювання електронного секундоміра .

В даній роботі для незалежної оцінки приведеної довжини фізичного маятника застосовується модель математичного маятника, що являє собою масивну кулю, підвішену на двох нитках (рис 3.4). Довжину ниток змінюють, намотуючи їх на вісь. Повертаючи верхній кронштейн, на якому закріплено маятник, на так, щоб куля маятника перетинала оптичну вісь, можна виміряти період цього маятника. (Риска на кулі має знаходиться на одному рівні з фотодатчиком).

Завдання

Визначте діапазон амплітуд, за яких період коливань маятника T не залежить від амплітуди. Для цього відведіть маятник від положення рівноваги на деякий кут та виміряйте час, за який маятник зробить 50 коливань. За результатами експерименту знайдіть період коливань T.

Повторіть експеримент, зменшивши початкове відхилення в 1,5-2 рази, а потім ще раз так само зменшіть амплітуду. Якщо періоди збігаються в границях похибки вимірювань, то для подальших вимірювань можна вибрати будь-яке початкове відхилення, менше за . Якщо періоди значно відрізняються, треба вивчати поведінку маятника за ще менших відхилень.

З’ясуйте, що вносить найбільшу похибку у визначення періоду і спробуйте її зменшити.

Зафіксуйте вантажі на стержні несиметрично, таким чином, щоб один з них був розташований біля кінця стержня, а інший – біля середини стержня. Розташуйте опорні призми по обидві сторони від центра мас системи. Виміряйте періоди коливань маятника навколо призм .

Дослідіть залежність періодів Т1 та Т2 від положення вантажів В1 та В2. При цьому достатньо вимірювати час 10-15 коливань. З’ясуйте:

який з вантажів сильніше впливає на величину періодів;

який з вантажів істотно впливає на різницю періодів.

Пересуваючи вантаж, що істотно впливає на різницю періодів, досягніть грубого співпадання періодів. Визначте періоди за 10-15 коливаннями. Виміряйте відстані між вантажами та їх положення на стержні, знайдіть положення центра мас маятника. Оцініть величину відстаней s1 та s2. Як зазначалось вище, вони мають відрізнятись не менше як у 1.5, і не більше як у 3 рази.

Змінюючи положення вантажу, який менше впливає на періоди, досягніть збігу періодів Т1 та Т2 з точністю не меншою, ніж 1%. Перевірте, чи задовольняють в цьому випадку значення s1 та s2нерівністі (15). Остаточне вимірювання періоду коливань маятника слід робити за 20-30 повних коливань. Необхідно також впевнитись в тому, що вплив тертя при такій кількості коливань незначний (тобто амплітуда помітно не зменшується).

Знайдіть зведену довжину фізичного маятника. Перевірте це значення за допомогою моделі математичного маятника. Змінюючи довжину маятника за допомогою котушки, добийтесь співпадіння періодів математичного та фізичного маятників у межах точності вимірів.

Повторіть вимірювання ще для декількох (не менше 4-5) значень зведеної довжини фізичного маятника (відстані між опорними призмами)

Обробка експериментальних даних

Побудуйте графік залежності L від, і за ним визначте прискорення вільного падіння (згідно із формулою (9)).

Порівняйте знайдене значення g із табличним (див. Таб.1).

Визначте похибки обчислень на кожному кроці експерименту та оцініть загальну похибку.