Вопросы к экзамену (математический анализ)

Вопросы к экзамену.

1. Тригонометрические ряды. Ряды Фурье. Коэффициенты ряда Фурье.

2. Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье функций с периодом .

3. Разложение в ряд Фурье функции с периодом .

4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

5. Разложение в ряд Фурье функции, заданной в сегменте .

6. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье общего вида.

7. Евклидово -мерное пространство. Точечные множества пространства .

8. Сходящиеся последовательности точек в пространстве .

9. Действительная функция переменных как функция точки множества пространства, ее график.

10. Предел функции в точке. Повторные пределы. Непрерывные функции нескольких переменных и их свойства.

11. Геометрические приложения дифференциального исчисления. Частные производные и частные дифференциалы.

12. Полное приращение функции нескольких переменных. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных, полный дифференциал.

13. Производная функции по направлению. Градиент функции и его свойства.

14. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

15. Частные производные высшего порядка.

16. Теорема Шварца о независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.

17. Производные высшего порядка от сложных функций. Дифференциалы высшего порядка.

18. Формула Тейлора для функции двух переменных.

19. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.

20. Определение двойного интеграла, необходимое условие его существования. Критерий существования двойного интеграла.

21. Классы интегрируемых функций.

22. Свойства двойного интеграла.

23. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах приведением к повторному интегралу.

24. Замена переменных под знаком двойного интеграла.

25. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

26. Понятие об аддитивной функции области.

27. Приложение двойного интеграла в геометрии и физике.

28. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах. Приложения в физике.

29. Криволинейный интеграл по длине, сведение его к определенному интегралу.

30. Криволинейные интегралы по координатам, их существования, вычисления и основные свойства.

31. Интегралы по замкнутому контуру. Формула Грина.

32. Условие независимости интеграла от линии интегрирования.

33. Приложения криволинейных интегралов к задачам физики.

34. Интегралы по поверхности, их вычисление и свойства.

35. Формула Стокса.

36. Формула Остроградского.

37. Скалярное поле. Векторное поле.

38. Поток вектора. Дивергенция.

39. Циркуляция и ротор векторного поля.

40. Оператор Гамильтона и векторные дифференциальные операции второго порядка.