МА — коллоквиум (2 семестр)

Программа коллоквиума по МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

(II семестр)

Задача, приводящие к понятию интеграла Римана.

Определения интеграла Римана (на языке последовательностей, на языке « - »).

Необходимое условие интегрируемости функции.

Множества лебеговой меры нуль и их свойства.

Теорема Лебега (формулировка).

Интегрируемость монотонной функции.

Свойства интеграла Римана: линейность, интегрируемость произведения и модуля.

Свойство аддитивности интеграла Римана относительно области интегрирования.

Свойства интеграла, связанные с неравенствами.

Теорема о среднем.

Свойство непрерывности интеграла как функции своего верхнего предела.

Теорема о существовании первообразной.

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула интегрирования по частям и замена переменной в интеграле Римана.

Верхний и нижний интегралы Дарбу и их свойства.

Критерий Дарбу интегрируемости функций.

Интегрируемость непрерывной функции.

Геометрические приложения интеграла Римана.

Несобственные интегралы: определение, свойства, критерий Коши, формула Ньютона-Лейбница.

Интегралы от неотрицательных функций: признаки сравнения.

Абсолютно сходящиеся интегралы.