Вопросы к экзамену.математический анализ

Вопросы к экзамену. Математический анализ

Логические символы, множества. Точные грани числовых множеств.

Метод математической индукции. Бином Ньютона.

Числовая последовательность и ее предел. Свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства. Виды неопределенностей. Монотонные последовательности. Число е.

Предел функция в точке (по Коши и по Гейне). Свойства функция, имеющих предел в точке. Односторонние пределы функция. Предел функции на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные пределы.

Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функций и их классификация. Непрерывность элементарных функций.

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функция. Символы «о» и «О». Эквивалентные функции, их применение к вычислению пределов функций.

Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства: теоремы Вейерштрасса, теорема коши о прохождении функции через нуль, теорема Коши о промежуточном значении.

Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Односторонние производные. Уравнения касательной и нормали к кривой.

Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные элементарных функций.

Логарифмическая производная. Понятие неявной функции и ее дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл, свойства и применение в приближенных вычислениях. Инвариантность формы дифференциала.

Производные высших порядков. Свойства, формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков. Производные высших порядков неявной и параметрически заданных функций.

Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.

Основные теоремы дифференциального исчисления: Ролля, Лагранжа, Коши.

Правило Лопиталя и его применение для раскрытия неопределенностей.

Формулы Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа и Пеано. Формула Тейлора, выраженная через дифференциалы функция. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций. Приложения формулы Тейлора.

Признаки возрастания и убывания функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума функции и построения ее графика.

Направление выпуклости и точки перегиба кривой. Асимптоты графика функция. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Алгебраическая и показательная формы записи комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера. Извлечение корня из комплексного числа. Свойства комплексно-сопряженных выражений.

Многочлены и их делимость. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Критерий тождественности двух многочленов.