Вопросы к экзамену по математике 1 курс

Вопросы к экзамену по математике 1 курс , 1 семестр . И ответы.

Математика и научно — технический процесс. Понятие о математическом моделирование .

Ответ :

Научно-технический прогресс — это процесс непрерывной по развитию науки, техники, технологии, совершенствования предметов труда, форм и методов организации производства» и труда. 

Математическое моделирование — описание анализируемого объекта внешнего мира с помощью математической символики.

Десятичное приближение действительных чисел . Абсолютная и относительная погрешности их границы .

Ответ :

Десятичное действительное число — приближенное изображение действительного числа конечной десятичной дробью. Всякое   десятичное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби.

 Абсолютная погрешность  – это значение, вычисляемое как разность между числом, являющимся номинальным значением меры, и настоящим (действительным) значением воспроизводимой мерой величины.

Относительная погрешность – это число, отражающее степень точности измерения.

граница абсолютной, и относительной погрешностей- это максимальное и минимальное допустимое значение величины исходя из этих погрешностей.

3 Верные и Сомнительные числа . Запись приближённых чисел . Округление приближённых чисел .

Цифра m приближённого числа a называется верной в широком смысле , если граница абсолютной погрешности числа a не превосходит единицы того разряда в котором записывается цифра m

Цифры в записи приближенного числа о которых не известно , являются ли они верными , называются сомнительными .

Округление

Если приближенное число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причем если первая отбрасываемая цифра больше или равна d/2, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры округленного числа. Поэтому, чтобы после округления все знаки были верны, погрешность до округления должна быть не больше половины единицы того разряда, до которого предполагают делать округление.

Правила строгого учета погрешностей при выполнении действий с приближёнными числами .

Ответ :

Существуют строгие и нестрогие методы оценки точности результатов вы-

числений. К первой группе методов относятся:

– строгий метод итоговой оценки;

– метод строгого пооперационного учета погрешностей.

Суть строгого метода итоговой оценки состоит в том, что если прибли-

женные вычисления выполняются по сравнительно простой формуле, то с по-

мощью формул учета погрешностей арифметических действий и вычисления

функции можно вывести формулу итоговой погрешности

5 Правила подсчета цифр при выполнение действий с приближёнными числами .

Ответ :

В этом правиле используются понятия десятичных знаков, значащих цифр, точных и сомнительных цифр. Напомним, что десятичными знаками числа называют все его цифры, стоящие правее запятой. 

Понятие комплексного числа . Действия с комплексными числами , заданные в алгебраической форме .

Ответ :

Комплексным числом-   Комплексным числом называется выражение вида a  +  ib , где a  и  b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей . 

Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Суммой двух комплексных чисел a+bj и c+dj называется комплексное число (a+c)+(b+d)j. a+bj + c+dj=(a+c)+(b+d)j. Сложение комплексных чисел обладает свойствами:

1). z1+z2=z2+z1 переместительный з-н.

2). (z1+z2)+z3=z1+z2+z3 сочетательный з-н.

3). z1-z2=z3, z3+z2=z1

Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется такое число z3, которое в сумме с z2 дает z1. Теорема: Для любых комплексных чисел z1 и z2 разность z3=z1+z2 определена и причем однозначно. Правило: (a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j.

Произведением комплексных чисел a+bj и c+dj называется комплексное число(ac-bd)+(ad+bc)j. (a+bj)+(c+dj)=ac+adj+bcj+bdj2.

Частным от деления комплексного числа z1 на z2 (z2≠0+0j) называется такое число z3, которое при умножении на z2 дает z1. Теорема: частное двух комплексных чисел z1  и z2 (z2≠0+0j) определено и причем однозначно

определение функций . Понятия числовой , обратимой сложной функций.

Ответ :

Определение  функции- выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. 

Понятие обратной функции - Функция  называется обратимой, если для любых двух различных чисел  и , принадлежащих , числа и  также различны.

График функции. Преобразование графиков функций без изменения масштаба .

Ответ :

График функции — которое даёт представление о геометрическом образе функции.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

 Функция

 Преобразование графика функции 

Параллельный перенос вдоль оси OY на A единиц вверх, если А>0, и на |A| единиц вниз, если А

Параллельный перенос вдоль оси OX на a единиц вправо, если

a > 0, на |a| единиц влево, если a 

Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в k раз, если k > 1, и сжатие в 1/kраз, если 0

Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз, если k > 1, и растяжение в 1/kраз, если 0

Симметричное отражение относительно оси OX

Часть графика, расположенная ниже оси OX, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.

Симметричное отражение относительно оси OY.

Часть графика, расположенная в области x  0, остается без изменения, а его часть для области x  0 заменяется симметричным отображением относительно оси OY части графика для x  0.

График функции . Преобразование графиков функций с изменения масштаба .

Ответ :

График функции — которое даёт представление о геометрическом образе функции.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

 Функция

 Преобразование графика функции 

Параллельный перенос вдоль оси OY на A единиц вверх, если А>0, и на |A| единиц вниз, если А

Параллельный перенос вдоль оси OX на a единиц вправо, если

a > 0, на |a| единиц влево, если a 

Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в k раз, если k > 1, и сжатие в 1/kраз, если 0

Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз, если k > 1, и растяжение в 1/kраз, если 0

Симметричное отражение относительно оси OX

Часть графика, расположенная ниже оси OX, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.

Симметричное отражение относительно оси OY.

Часть графика, расположенная в области x  0, остается без изменения, а его часть для области x  0 заменяется симметричным отображением относительно оси OY части графика для x  0.

Построение графиков функций , аналитическое выражение которых содержит знак модуля .

Ответ :  у = |х|

Если х  0, то |х| =х и наша функция у =х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.

Если х

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Свойства монотонности и ограниченности функции

Ответ :

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение  которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Свойства чётности и не чётности , периодичности функции.

Ответ :

Свойства четности и периодичности

Рассмотрим подробнее свойства четности и периодичности, на примере основных тригонометрических функций: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).

Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).

Если построить график четной функции, он будет симметричен относительно оси Оу.

Например, тригонометрическая функция y=cos(x) является четной.

Свойства нечетности и периодичности

Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:

1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.

2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно точки О – начала координат.

Например, тригонометрические функции y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) являются нечетными.

Периодичность тригонометрических функций

 

Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.

Предел функции в точке . Бесконечно малые и бесконечно большие функции ,связь между ними

Ответ :

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция  при стремлении её аргумента к данной точке.

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.Теорема. Если f(x) ->0 при х -> а (если х ->беск. ) и не обращается в ноль, то y = 1/f(x) ->беск.

14 непрерывность функции в точке и на промежутке . Свойства непрерывных функций . Точки разрыва .

Ответ :

функция непрерывна в точке, если она в этой точке определена и пределы справа и слева существуют и равны значению в этой точке.

Теорема. Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то в этой же точке непрерывны и функции f(x)  g(x), f(x)  g(x) и f(x)/g(x) (последнее только в случае, если g(x0)0).

Точка  называется точкой разрыва функции , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки  (то есть определена на некотором интервале, для которого  служит внутренней точкой, но в самой точке , возможно, не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) не существует предела слева ;

2) не существует предела справа ;

3) пределы слева  и справа  существуют, но не равны друг другу: ;

4) пределы слева  и справа  существуют и равны друг другу: , но не совпадают со значением функции в точке , или функция  не определена в точке .

Определение. Пусть y f(x) и x = (t). Тогда комбинация y f((t)) называется суперпозицией функций f(x) и (t), или сложной функции

Основные теоремы о пределах , следствия из них.

Ответ :

Теорема (о пределе суммы). Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций.

.

Следствие. Предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

.

Теорема (о пределе произведения). Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций.

.

Следствие. Постоянный множитель может быть вынесен из-под знака предела.

.

Следствие. Предел степени равен степени предела.

.

Теорема (о пределе частного). Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен нулю.

, при g(x)0 и .

Теорема (о пределе промежуточной функции). Если и в некоторой окрестности точки а (быть может, кроме точки а) имеют место неравенства , то .

Теорема. Функция f не может иметь двух различных пределов при ха.

Вычисление предела функции в точке . Правила раскрытия неопределённости вида %

Ответ :

Вычисление пределов функций основано на применении следующих основных теорем:

ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций , то есть

ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть

Предел функции в бесконечности.

Ответ :

Предел функции в бесконечности

Пусть функция f(x) определена на (a, + ∞).

Число A называется пределом функции f(x) при x → + ∞ (обозначается A = 

lim

x → + ∞

 f(x) ), если

 ε > 0     N:     x > N      |f(x) − a|

Пусть функция f(x) определена на ( − ∞,a).

Число A называется пределом функции f(x) при x → − ∞ (обозначается A = 

lim

x → − ∞

 f(x) }, если

 ε > 0     N:     x 

Если существуют пределы функции f(x) при x → + ∞ и при x → − ∞ и они равны одному и тому же числу A, то это число A называется пределом функции f(x) приx → ∞ {обозначаетсяA = 

lim

x → ∞

 f(x) .

Теоремы о пределах последовательностей и правила их вычисления распространяются и на пределы функций в бесконечности.

Наклонные асимптоты графика функции

Пусть функция f(x) определена на (a, + ∞). Обозначим символом α разность ординат точек графика функции f(x ) и прямой y = kx + b при одном и том же значении x(рис. 1), т.е. α(x) = f(x) − (kx + b).

18 Вычисление предела функции в бесконечности . Правила раскрытия неопределённостей вида бесконечность делить на бесконечность и бесконечность –бесконечность

Пусть функция f(x) определена на (a, + ∞).

Число A называется пределом функции f(x) при x → + ∞ (обозначается A = 

lim

19 Бесконечная числовая последовательность . Предел числовой последовательности .

Ответ :

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства. 

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементовчислового пространства

20 Степенная функция с натуральным показателем .

Ответ :

Степенная функция с натуральным показателем y = xn n ∈ N непрерывна на множестве действительных чисел. Если n нечетное, то эта функция строго возрастает и потому обратима. Обратной к ней является функция.

21 Степенная функция с целым отрицательным показателем .

Ответ :

Степенная функция с целым отрицательным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой .

22 Степенная функция с показателем вида 1/n



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст