исследовательская деятельность обучающихся на уроках математики

Кокоева М. В.

Исследовательская деятельностьобучающихся на уроках математики, как вид их самостоятельной работы

Развитие информационного общества, научно-технические преобразования, рыночные отношения требуют от каждого человека высокого уровня профессиональных и деловых качеств, предприимчивости, способности ориентироваться в сложных ситуациях, быстро и безошибочно принимать решения.

“Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью”, — сказал Л.Н.Толстой. И с ним можно безусловно согласиться. Проблема самостоятельности учащихся при обучении не является новой. Этому вопросу отводили исключительную роль ученые всех времен. Особенно четкие концепции о роли самостоятельности в приобретении знаний имеются в трудах Константина Дмитриевича Ушинского, Николая Григорьевича Чернышевского, Дмитрия Ивановича Писарева.

В формировании многих качеств, необходимых успешному современному человеку, может большую роль сыграть школьная дисциплина – математика. На уроках математики кадеты учатся рассуждать, доказывать, находить рациональные пути выполнения заданий, делать соответствующие выводы. Общепризнанно, что «математика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению», «математика ум человеческий в порядок приводит» отмечал М.В. Ломоносов. 

Но как научить своих воспитанников учиться, мыслить самостоятельно и вслушиваться в слово, его музыку, его тайные смыслы? Выход один: нужно дать кадетам возможность самим искать ответ – искать, может быть, мучительно, всю жизнь, но всерьез. Значит нужно научить их думать.Обучение большинству учебных предметов зачастую сводится к запоминанию и воспроизведению. Одним из сравнительно немногих исключений является математика. Изучение математики предполагает не только запоминание и воспроизведение, но и узнавание («это выражение представляет собой разность квадратов двух функций»), понимание («здесь нужно применить именно эту формулу»), анализ («если правая часть этого уравнения отрицательна, то уравнение не имеет решения») и рефлексию («это неравенство можно решить несколькими способами, воспользуемся самым коротким»). Даже выполнение самых рутинных и скучных преобразований способствует выработке таких качеств, как собранность и систематичность. Математика учит строить и оптимизировать деятельность, вырабатывать и принимать решения, проверять действия, исправлять ошибки, различать аргументированные и бездоказательные утверждения. Таким образом, именно на уроках математики формируются универсальные (общие) умения и навыки, являющиеся основой существования человека в социуме. Общество заинтересовано в гражданах, которые умеют самостоятельно думать и решать разнообразные проблемы, обладают критическим и творческим мышлением, умеют работать в коллективе, обладают коммуникативными навыками.

Такие качества формируются у обучающихся в процессе исследовательской деятельности. Исследовательская деятельность обучающихся – это процесс решения ими творческой, исследовательской задачи, направленный на получение новых знаний.

«Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то и в жизни он всегда будет только подражать, копировать, так как мало таких, которые бы, научившись копировать, умели сделать самостоятельное приложение этих сведений» — Л.Толстой.

Важность проблемы - развитие творческих способностей обучающихся - обусловлена двумя основными причинами. Первая из них - падение интереса к учебе. Желание учиться и познавать с «аппетитом» знания наблюдается у детей с первого по пятый класс. «Лес» рук на вопрос учителя на уроке, к седьмому классу превращается в редкий «лесок», а к десятому классу превращается в одинокое «дерево».

Здесь налицо противоречие между всё возрастающей сложностью и насыщенностью школьной программы, постоянно увеличивающимся уровнем требований и способностью учеников освоить весь объем предлагаемых ему сведений. Не в силах справиться с такими нагрузками, дети просто перестают заниматься, свыкаются с ролью неспособных, бесперспективных, отстающих. Нежелание части детей учиться - своего рода психологическая защита от перегрузки, потеря уверенности в своих силах. А ведь «воспитание отстающих, неспособных, «бездарных» - это пробный камень педагогики, ее мастерства, искусства, человечности» - считал В.Сухомлинский.

Вторая причина в том, что даже те ученики, которые, казалось бы, успешно справляются с программой, теряются, как только оказываются в нестандартной учебной ситуации, демонстрируя свое полное неумение решать продуктивные задачи. Проводимые с 1991 года международные исследования уровня естественнонаучной грамотности учащихся (TIMSS) показывают, что результаты российских школьников существенно ниже результатов их сверстников из стран, входящих в группу лидеров. Хотя наши ученики продолжают побеждать на международных математических олимпиадах, но это результат элитного образования, в массовой же школе (по данным исследования) наши дети, неплохо справляясь с репродуктивными заданиями, демонстрируют очень слабые результаты при решении задач творческого, исследовательского характера.

Учебно-исследовательская деятельность подразумевает ознакомление обучающихся с различными методами выполнения исследовательских работ, способами сбора, обработки и анализа полученного материала, а так же направлена на выработку умения обобщать данные и формулировать результат. Учебное исследование предполагает такую познавательную деятельность, в которой кадеты используют приемы, соответствующие методам изучаемой науки, не ограничиваются усвоением новых знаний, а вносят в творческий процесс свое оригинальное решение, находят новые вопросы в уже известном, используют широкий круг источников, применяют более совершенные, по сравнению с программными, методы познавательной деятельности. При таких условиях исследовательская деятельность воспитанников приближается к научной, однако сохраняет отличительные признаки: тематика определена требованиями школьной программы и предполагает получение субъективной научной новизны — достоверного результата, обладающего новизной только для данного исследователя.

Овладение навыками исследовательской деятельности предполагает наличие у обучающихся системы базовых знаний (в первую очередь, понятийного аппарата исследования, сущности исследовательского процесса) и непосредственного участия в исследовательской работе. Первое условие можно реализовать через систему теоретических и практических занятий, самостоятельной работы обучающихся по заданию учителя, практических занятий в научной библиотеке, с помощью реферирования и аннотирования литературы. Второе условие обеспечивается реализацией базовых знаний в процессе разработки собственной исследовательской работы.

Основными задачами научно-исследовательской работы являются:

формирование у обучающегося интереса к научному творчеству, обучение методике и способам самостоятельного решения научно-исследовательских задач;

развитие творческого мышления и самостоятельности, углубление и закрепление полученных при обучении теоретических и практических знаний;

выявление наиболее одаренных и талантливых воспитанников, использование их творческого и интеллектуального потенциала для решения актуальных задач.

Каждому ребенку дарована от природы склонность к познанию и исследованию окружающего мира. Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих умений и навыков. Необходимо прививать кадетам вкус к исследованию, вооружать их методами научно-исследовательской деятельности. 

Исследовательская деятельность обучающихся – это совокупность действий поискового характера, ведущая к открытию неизвестных для обучающихся фактов, теоретических знаний и способов деятельности. 

В качестве основного средства организации исследовательской работы выступает система исследовательских заданий. 

Исследовательские задания – это предъявляемые обучающимся задания, содержащие проблему; решение ее требует проведения теоретического анализа, применения одного или нескольких методов научного исследования, с помощью которых учащиеся открывают ранее неизвестное для них знание. 

Цель исследовательского метода – «вызвать» в уме кадета тот самый мыслительный процесс, который переживает творец и изобретатель данного открытия или изобретения. Обучающийся должен почувствовать прелесть открытия. 

Основные этапы учебного исследования.

1) Мотивация – очень важный этап процесса обучения, если мы хотим, чтобы оно было творческим. Целью мотивации, как этапа урока, является создание условий для возникновения у воспитанника вопроса или проблемы. Одним из способов осуществления мотивации может служить исходная (мотивирующая задача), которая должна обеспечить «видение» учащимися более общей проблемы, нежели та, которая отражена в условии задачи. 

2) Этап формулирования проблемы – самый тонкий и «творческий» компонент мыслительного процесса. В идеале сформулировать проблему должен сам кадет в результате решения мотивирующей задачи. Однако в реальной практике такое случается далеко не всегда: для очень многих обучающихся самостоятельное определение проблемы затруднено; предлагаемые ими формулировки могут оказаться неправильными. А поэтому необходим контроль со стороны преподавателя. 

3) Сбор фактического материала может осуществляться при изучении соответствующей учебной или специальной литературы либо посредством проведения испытаний, всевозможных проб, измерения частей фигуры, каких-либо параметров и т.д. Пробы (испытания) не должны быть хаотичными, лишенными какой-либо логики. Необходимо задать их направление посредством пояснений, чертежей и т.п. Число испытаний должно быть достаточным для получения необходимого фактического материала. 

4) Систематизацию и анализ полученного материала удобно осуществлять с помощью таблиц, схем, графиков и т.п. – они позволяют визуально определить необходимые связи, свойства, соотношения, закономерности. 

5) Выдвижение гипотез. Полезно прививать обучающимся стремление записывать гипотезы на математическом языке, что придает высказываниям точность и лаконичность. Не нужно ограничивать число предлагаемых обучающимися гипотез. 

6) Проверка гипотез позволяет укрепить веру или усомниться в истинности предложений, а может внести изменения в их формулировки. Чаще всего проверку гипотез целесообразно осуществлять посредством проведения еще одного испытания. При этом результат новой пробы сопоставляется с ранее полученным результатом. Если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается, и вероятность ее истинности возрастает. Расхождение же результатов служит основанием для отклонения гипотезы или уточнения условий ее справедливости. 

7) На последнем этапе происходит доказательство истинности гипотез, получивших ранее подтверждение; ложность же их может быть определена с помощью контрпримеров. Поиск необходимых доказательств часто представляет большую трудность, поэтому учителю важно предусмотреть всевозможные подсказки. 

В качестве иллюстрации учебного исследования приведу фрагмент урока геометрии по теме «Теорема Пифагора». 

Мотивирующей (исходной) задачей может служить следующая задача: «Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?» 

Анализируя математическую модель этой практической задачи, кадеты формулируют проблему – нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам.

Для решения этой проблемы можно организовать практическую работу исследовательского характера, предложив учащимся задание по рядам: построить прямоугольные треугольники с катетами 12 и 5; 6 и 8; 8 и 15 см и измерить гипотенузу.

После установления зависимости между сторонами прямоугольного треугольника эмпирический вывод требует теоретического обоснования, т.е. доказывается теорема Пифагора. 

В качестве домашнего задания по этой теме можно предложить исследовательскую работу со следующей мотивирующей задачей: «Кто же на самом деле открыл теорему Пифагор? Почему она долгое время называлась «теоремой невесты»? Существуют ли другие доказательства теоремы?»

При изучении темы «Сумма внутренних углов треугольника» в качестве исходного задания можно предложить такую задачу: «Построить треугольник по трем заданным углам: 

1)  А = 90о В = 60о С = 45о;2)  А = 70о В = 30о С = 50о;3)  А = 50о В = 60о С = 70о».

Кадеты, вооружившись линейкой и транспортиром, начинают строить треугольники. В первом случае, построив углы А и В и отложив угол в 45о от луча АС (или ВС, кому как нравится), они увидят, что вместо треугольника получается четырехугольник. Во втором случае независимо от того, какие первые два угла воспитанники выбирают для построения, всегда получается треугольник, третий угол которого больше, либо меньше заданного. И только в третьем случае выстраивается треугольник по трем заданным углам.

По окончании уже можно выдвинуть предположение о сумме углов треугольника. Здесь уместен провокационный вопрос: «В каком треугольнике, по вашему мнению, сумма внутренних углов больше, в остроугольном или тупоугольном?» Практика показывает, что почти в каждом классе найдутся несколько человек, которые, зная, что тупой угол всегда больше острого, по аналогии скажут, что сумма внутренних углов тупоугольного треугольника больше, чем остроугольного. Далее им предлагается на практике проверить свое утверждение.

На уроке алгебры по теме «Сумма бесконечной геометрической прогрессии» обучающимся можно задать следующий вопрос: «Возможно ли найти сумму бесконечного числа слагаемых Обучающиеся, скорее всего, ответят, что такое невозможно. Разубедить их помогает знакомство с формулой для вычисления суммы бесконечной геометрической прогрессии при . Такое учебное исследование можно назвать «учебным расследованием». Расследование показывает учащимся, что наглядность, жизненный стереотип иногда приводят к ошибке, а может выручить лишь математика.

Математика дает широкое поле для исследования. Изучая математику, обучающиеся кратко повторяют путь человечества, который оно прошло, добывая математические знания. Например, изучая число , обучающиеся могут самостоятельно прийти к тому, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же число. Для эксперимента предлагаются различные предметы «круглой формы» разного диаметра. Больше пользы будет в том случае, если кадеты сами, выполняя действия над числовыми характеристиками, получат требуемое значение. Лишь в случае значительных затруднений можно оказать им некоторую помощь.

Иногда за урок удается решить одну крупную проблему, или же урок может содержать несколько мелких проблемных заданий.

Урок-исследование по теме «Свойства квадратного корня» можно провести в форме эвристической беседы, т.е. с помощью системы вопросов-ответов, в результате чего обучающиеся «открывают» свойства квадратного корня. 

Сначала задаются вопросы, нацеливающие обучающихся на наблюдение за математическими объектами, на абстрагирование от несущественных свойств этих объектов. 

1) Выполните действия и сравните полученные результаты: 

2) Запишите в буквенной форме замеченное вами свойство. 

Каковы допустимые значения входящих в записываемое равенство переменных? 

3) Выполняется ли записанное вами равенство, если входящие в него множители не являются точными квадратами?

Теперь наблюдения обучающихся должны оформиться в виде доказательств. К ним кадетов подталкивают следующие вопросы. 

4) Докажите ваше предположение, используя определение арифметического квадратного корня. 

Чему равно выражение 

Чему равно выражение ?

5) Как бы вы назвали доказанное свойство? Сформулируйте его в словесной форме. 

6) Выполняется ли такое свойство для корня из произведения трех множителей? 

7) Можно ли обобщить это свойство на случай произвольного числа сомножителей? 

8) Имеет ли смысл выражение ?

9) Можно ли применить к нему свойство корня из произведения? 

10) Как записать в буквенной форме равенство, позволяющее это сделать?

Работа класса продолжается исследованием свойства корня из дроби. Причем она проводится по вопросам, аналогичным тем, что приведены в пунктах 1-5. После того как сформулировано свойство арифметического корня из дроби, обучающиеся демонстрируют на примерах применение этого свойства. 

Следующий этап урока нужно посвятить предупреждению ошибок, которые обучающиеся часто допускают в этой теме. 

11) Существует ли свойство корня из суммы; корня из разности? 

На описанном уроке происходит формирование таких исследовательских умений, как умение выдвигать гипотезу на основе анализа данных и по аналогии с известным решением. Обучающимся приходится проводить доказательство утверждения с опорой на определение и посредством записи закономерности в буквенной форме.

 Кроме уроков-исследований существуют также мини-исследования. В них присутствуют лишь некоторые исследовательские элементы. Выполнение задания занимает несколько минут. 

Вот примеры совсем небольших проблем-вопросов: «Почему треугольник назван «треугольником»? Можно ли дать ему другое название, также связанное с его свойствами?»

«Как можно объяснить название «развернутый угол»?» 

«В Древнем Египте после разлива Нила требовалось восстановить границы земельных участков, для чего на местности необходимо было уметь строить прямые углы. Египтяне поступали следующим образом: брали веревку, завязывали на равных расстояниях узлы и строили треугольники со сторонами, равными 3, 4 и 5 таких отрезков. Правильно ли они поступали?»

Использование исследований на уроках способствует сближению образования и науки, так как в обучение внедряются практические методы исследования объектов и явлений природы – наблюдения и эксперименты, которые являются специфичной формой практики. Их педагогическая ценность в том, что они помогают учителю подвести обучающихся к самостоятельному мышлению и самостоятельной практической деятельности; способствуют формированию у кадетов таких качеств, как вдумчивость, терпеливость, настойчивость, выдержка, аккуратность, сообразительность; развивают исследовательский подход к изучаемым технологическим процессам. 

Совершенно очевидно, что школа не в состоянии обеспечить ученика знаниями на всю жизнь, он она может и должна вооружить его методами познания, сформировать познавательную самостоятельность. Привлечение обучающихся к выполнению творческих учебно-исследовательских работ имеет глубокий воспитательный характер. Оно способствует развитию целеустремленности, трудолюбия и силы воли, формированию стремления к познанию, самостоятельности мышления, научного мировоззрения. Самовыражению личности в учебно-познавательном процессе способствует создание ситуаций творческой активности. Ничто не заменит воспитаннику наслаждения от собственного творчества, которое доставляет радость, стимулирует процесс мышления, способствует удовлетворению эстетических потребностей и показывает внутреннюю красоту познания.