ЭО Лаб работа 4

4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

«Дискретные и непрерывные случайные величины»

Оглавление

Цель1

Дискретные случайные величины1

Непрерывные случайные величины3

Биноминальное распределение5

Распределение Пуассона7

Геометрическое распределение7

Гипергеометрическое распределение9

Нормальное распределение11

Равномерное распределение13

Показательное распределение13

Контрольные задания13

Цель

Целью лабораторной работы №4 является знакомство с возможностями программы Maple для расчеты распределения случайной величины по условию задачи, по нахождению ее числовых характеристик, таких как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. .

Дискретные случайные величины

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта, принимает числовое значение, являющееся случайным событием этого опыта. Множество всех таких значений будем называть множеством возможных значений случайной величины

Определение. называется функцией распределения случайной величины .

Свойства функции распределения:

1) 0

2) P{}=-;

3) , если ;

4) (-)=0, (+)=1.

5) P( =) =

Определение. Рядом (или законом распределения) дискретной случайной величины называют таблицу, в первой строке которой возможные значения , а во второй — соответствующие вероятности =P{=}; =1.

Характеристиками положения случайной величины являются математическое ожидание, мода и медиана.

Определение. Средним значением, или математическим ожиданием дискретной случайной величины называют

M[]=(1)

Свойства математического ожидания:

1) M[C]=C, где С — const;

2) M[C]=CM[];

3) M[]=M[]+M[], где и - любые случайные величины;

4) M[]=M[] M[], если и - независимые случайные величины.

Случайные величины и называются независимыми, если для любых x и y имеет место равенство F(x,y) = ,т.е. P({

Модой () дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.

Начальные и центральные моменты k-го порядка случайной величины определяются соответственно формулами:

=M[] и =M[].

Если дискретная случайная величина, то =, =.

Первый начальный моментявляется математическим ожиданием случайной величины

Второй центральный момент является дисперсией случайной величины :

D[]=M[]=(2)

Для вычислений удобна следующая формула:

=M[]-.

Свойства дисперсии:

1) D[C]=0, где C-const;

2) D[C]=D[];

3) если и — независимые случайные величины, то D[+]=D[]+D[].

Непрерывные случайные величины

Пусть — непрерывная случайная величина и ее функция распределения непрерывна на множестве действительных чисел.

Определение. Плотностью вероятности назовем функцию =

Свойства плотности вероятности:

1) >=0;

2) =1;

3) =

4) P{}=

Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения , либо плотностью вероятности . Заметим, что функцию называют еще плотностью распределения случайной величины .

Определение. Средним значением, или математическим ожиданием непрерывной случайной величины называют число

M[]= , причем предполагается, что интеграл сходятся абсолютно.

Определение. Дисперсией случайной величины называется число

D[]=M[]

Для непрерывной случайной величины дисперсию можно найти по формуле

D[]=, причем предполагается, что интеграл сходятся абсолютно.

Начальные и центральные моменты k-го порядка случайной величины определяются соответственно формулами:

=M[] и =M[].

Если непрерывная случайная величина, то

==

Первый начальный моментявляется математическим ожиданием случайной величины

Второй центральный момент является дисперсией случайной величины :

Заметим, что размерность величин и совпадает с размерностью самой случайной величины , а размерность равна квадрату размерности .

Биноминальное распределение

Определение. Биномиальное распределение — распределение количества наступлений события A в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность наступления события A в каждом из них постоянна и равна p.

Формула Бернулли является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Таблица №1

Математическое ожидание

np

Дисперсия

npq

Задача №1.

Стрелок стреляет 9 раз по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле Написать в виде теблицы (матрицы) закон распределения случайной величины X – число попаданий по мишени. Проверить, что сумма всех вероятностей в таблице равна 1. Найти по формулам (1) и (2) математическое ожидание и дисперсию. Подтвердить полученные результаты по формулам из таблицы №1. Найти среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что стрелок попадет более 5 раз по мишени.

Решение.

Формула Бернулли:

>

Матрица распределения:

>

Проверим, что сумма всех вероятностей во второй строке равна 1.

>

Найдем математическое ожидание:

>

>

По формуле: результат подтверждается.

Найдем дисперсию:

>

>

По формуле: результат подтверждается.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

>

>

Вероятность того, что стрелок попадет более 5 раз равна:

>

>

76, 16%.

Распределение Пуассона





Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события A равна p. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа (см. Лабораторную работу № 3). Однако эта формула не пригодна, если вероятность события мала (npq

Данное распределение в лабораторной работе №4 не будет рассматриваться, так как возможности математического пакета Maple позволяют рассчитывать вероятность непосредственно по формуле Бернулли при ОЧЕНЬ больших n и при ОЧЕНЬ малых p , как собственно и стандартный калькулятор встроенный в программу Windows. А расчеты по прямой формуле имеют гораздо меньшую погрешность, а значит и большую ценность, чем по асимптотическим. Данный вопрос вынесен на практические занятия.

Геометрическое распределение

Пусть производятся независимые испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A равна p (0

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число испытаний, которое нужно провести до первого появления события A. Возможные значения X – весь натуральный ряд. Вероятность рассчитывается по формуле:

Таблица №2

Математическое ожидание

Дисперсия

Задача №2.

Из орудия производится стрельба до первого попадания. Вероятность попадания в цель X – дискретная случайная величина числа испытаний. Составить таблицу (матрицу) распределения для X=1,2,…10. Найти по формулам (1) и (2) математическое ожидание и дисперсию. Подтвердить полученные результаты по формулам из таблицы №2. Найти среднее квадратическое отклонение. Сколько раз надо сделать выстрелов, чтобы с вероятностью 0,999 попасть по мишени?

Решение:

Вероятность будет рассчитываться по формуле:

>

Составим первые 10 столбцов таблицы (матрицы) распределения. Очевидно, что вся таблица – бесконечна.

>

Убедимся, что сумма всех вероятностей во второй строке распределения равна 1, для этого составим ряд:

>

Найдем математическое ожидание:

>

По формуле: результат подтверждается.

Найдем дисперсию:

>

D=0.56

По формуле: результат подтверждается.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

>

>

Ответим на вопрос сколько раз надо сделать выстрелов, чтобы с вероятностью 0,999 попасть по мишени

>

Вызовом контекстного меню, решаем данное неравенство :

>

Итак, уже при шести выстрелах, вероятность поражения хотя бы один раз мишень достигнет 0,999.

Гипергеометрическое распределение

Задача. Пусть в группе N студентов из них M отличники (M

Искомая вероятность события X=m

Эта формула определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим.

Таблица №3

Математическое ожидание

Дисперсия

Мода

Задача №3

Пусть в группе 30 студентов из них 9 отличники. Из группы случайно отбирают 4 студента для прохождения тестирования (каждый студент может быть отобран с одинаковой вероятностью). Обозначим через Х случайную величину – m отличников среди 4 отобранных. Найти по формулам (1) и (2) математическое ожидание и дисперсию. Подтвердить полученные результаты по формулам из таблицы №3. Найти среднее квадратическое отклонение. Найти наивероятнейшее число отличников, попавших на тестирование.

Решение.

Вероятность того, в отобранную группу попадут n отличников рассчитаем по формуле:

>

Таблица (матрица) распределения будет иметь вид:

>

Проверка:

>

Математическое ожидание

>

По формуле: результат подтверждается.

Найдем дисперсию:

>

>

По формуле: результат подтверждается:

>

Найдем среднее квадратическое отклонение:



Страницы: 1 | 2 | Весь текст