экзамен_по_мат_анализу

Выполняла Булханова Иминат!

Множества и операции над ними. Свойства операций над множествами.

Множество – совокупность объектов любой природы. Элементы данного множества – объекты данного множества.

Операции над множествами:

Теперь определим операции над множествами.

1.Пересечение множеств.

Свойства пересечения:

1.X∩Y = Y∩X – коммутативности

2.(X∩Y) ∩Z =X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z – ассоциативности

3.X∩∅=∅

4.X∩ I= Х

2. Объединение множеств

Определение: Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х или У.

 Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} объединением {1,2,3,4,6}

Свойства объединения:

1.XUY= YUY- коммутативности

2.(X UY)UZ =XU (YUZ)=XUYUZ – ассоциативности

3.XU∅= X

4. XU I = I 

3. Разность множеств

Определение: Данная операция, в отличие от операций пересечения и объединения определена только для двух множеств. Разностью множеств Х и У называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат Х и не принадлежат У.Например: Х={1,2,3,4} У={2,4,6} разность {1,3}

4. Дополнение множества

Дополнением множества Х называется разность I и Х.

Свойства дополнения:

1. Множество Х и его дополнение не имеют общих элементов

2.Любой элемент I принадлежит или множеству Х или его дополнению.1.

 

Законы и тождества алгебры множеств:

X∩Y=Y∩X- коммутативности пересечения

(X∩Y) ∩Z=X∩ (Y∩Z)=X∩Y∩Z — ассоциативности пересечения

XUY=YUY- коммутативности объединения

(XUY) UZ=XU (YUZ)=XUYUZ — ассоциативности объединения

Свойства операций над множествами:

1.2. Свойства операций над множествами.

1. A ⊂ A.

2. A ⊂ B, B ⊂ A ⇔ A = B.

3. A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C.

4. ∅ ⊂ A ∀A.

5. (∪α∈ΘAα) ∩ B = ∪α∈Θ(Aα ∩ B).

6. (∩α∈ΘAα) ∪ B = ∩α∈Θ(Aα ∪ B).

7. A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B, A ∩ B = A.

8. A ∪ A0 = E, A ∩ A0 = ∅.

9. ¡ ∪α∈ΘAα ¢0 = ∩α∈ΘA0α.

10. ¡ ∩α∈ΘAα ¢0 = ∪α∈ΘA0α.

Декартово произведение. Отображения множеств.

Под декартовым произведением A×B двух множеств A и B понимаем множество пар (x,y) таких, что x ∈ A и y ∈ B. Таким образом, A × B = {(x, y): x ∈ A, y ∈ B}.

Пример 1. Возьмем A = (0,1), B = (0,1). Тогда A × B = {(x,y): x,y ∈ (0,1) ⊂ R}. Очевидно, что декартово произведение множеств A и B совпадает с прямоугольником P = {(x,y) ∈ R2: 0

Определение 1. Подмножество F ⊂ A×B называется соответствием или многозначным отображением. Множество D(F) = {x ∈ A: ∃y ∈ B: (x,y) ∈ F} называется областью определения соответствия F, а множество R(F) = {y ∈ B: ∃x ∈ A: (x,y) ∈ F} называется областью значения соответствия.

Определение 2. Соответствие F называется отображением (или функцией), если ∀x ∈ D(F) ∃!y ∈ R(F): (x,y) ∈ F. Другими словами, в случае отображения любому x ∈ D(F) отвечает единственный элемент y ∈ R(F) такой, что (x,y) ∈ F. Этот единственный элемент y обычно обозначается через F(x). Можно привести и другое эквивалентное определение отображения.

Определение 2’. Отображение F есть закон (или правило), согласно которому каждому элементу из множества D(F) ⊂ A сопоставляется единственный элемент y ∈ B. Чтобы обозначить, откуда и куда действует отображение F, используется обозначение: F: A → B. Таким образом, обозначение F: A → B значит, что F – отображение, определенное на некотором подмножестве D(F) ⊂ A со значениями в B. Пусть F: A → B – отображение и C ⊂ D(F). Множество F(C) = {F(x): x ∈ C} называется образом множества C, а множество F−1(D) = {x ∈ D(F): ∃y ∈ D: F(x) = y} называется прообразом множества D.

Определение 3. Отображение F: A → B, определенное на всем A, называется сюръективным (или сюръекцией или отображением на), если F(A) = B.

Определение 4. Взаимно-однозначное отображение F: A → B, определенное на всем A, называется инъективным (или инъекцией). Таким образом, если F – инъекция, то ∀y ∈ R(F) ∃!x ∈ A: F(x) = y.

Определение 5. Отображение F: A → B, определенное на всем A, называется биективным (биекцией), если оно сюръективно и инъективно. Если отображение F инъективно, то определено обратное отображение F−1: Y → X, сопоставляющее любому y ∈ R(F) его прообраз F−1(y). В случае биекции мы имеем

F(F−1(y)) = y ∀y ∈ B, F−1(F(x)) = x ∀x ∈ A.

Отображение F: A → R обычно называют числовой функцией. Пусть даны два отображения F: A → B, G: B → C, причем R(F) ⊂ D(G). Тогда для всех x ∈ D(F) определена величина G(F(x)). Отображение H: x → G(F(x)) c областью определения D(A) называется суперпозицией отображений F и G и обозначается H = G ◦ F

Мощность множества. Теорема Кантора.

Определение 1. Говорим, что множество A равномощно множеству B и пишем A ∼ B, если существует биекция F: A → B множества A на множество B. Так как обратное к биекции отображение суть также биекция, то из того, что A ∼ B вытекает, что B ∼ A. Из определения вытекает, что в случае конечных множеств A и B имеем A ∼ B ⇔ множества A и B состоят из одного и того же количества элементов. В случае бесконечных множеств это также в определенном смысле верно. Однако, возникает естественный вопрос: может быть все бесконечные множества равномощны? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 1 (теорема Кантора). Совокупность Z всех подмножеств множества X образует множество не равномощное X.

Доказательство. Доказательство проведём от противного. Пусть такая биекция F: X → Z существует. Построим множество D = {x ∈Х: x (/∈) F(x)}. Очевидно, D ∈ Z. Тогда существует x0 ∈ X: F(x0) = D. Поскольку D = F(x0), то x0 (/∈) D. Однако, тогда, по определению множества D получим, что x0 ∈ D, противоречие.

Следствие 1. Будем говорить, что мощность множества A строго меньше мощности множества B, если существует инъекция из A в B, но не существует инъекции из B в A. Из теоремы Кантора вытекает, что существуют множества как угодно большой мощности. Множество, равномощное множеству натуральных чисел, будем называть счётным множеством. Множество назовем не более чем счетным, если оно конечно или счетно. Пусть E – счетное множество. Существует биекция F: N → E. Положим xi = F(i). Таким образом, если E счетно, то его элементы можно записать в виде E = {x1.x2,…} или, другими словами, мы можем занумеровать элементы E c помощью множества натуральных чисел.

Счетные и не более чем счетные множества. Несчетность множества вещественных чисел и счетность множества рациональных чисел.

Следствие 1. Будем говорить, что мощность множества A строго меньше мощности множества B, если существует инъекция из A в B, но не существует инъекции из B в A. Из теоремы Кантора вытекает, что существуют множества как угодно большой мощности. Множество, равномощное множеству натуральных чисел, будем называть счётным множеством. Множество назовем не более чем счетным, если оно конечно или счетно. Пусть E – счетное множество. Существует биекция F: N → E. Положим xi = F(i). Таким образом, если E счетно, то его элементы можно записать в виде E = {x1.x2,…} или, другими словами, мы можем занумеровать элементы E c помощью множества натуральных чисел.

Лемма 1. Любая часть не более чем счетного множества E не более чем счетна.

Доказательство. Если E конечно, то утверждение очевидно. Пусть E счетно и M ⊂ E. Занумеруем элементы E. Тогда E = {x1,x2,…}. Выберем в M элемент с наименьшим номером. Обозначим его через y1. Последовательно выбираем элемент с наименьшим номером yn из множества M \ {y1,y2,…,yn−1}. Очевидно, что за конечное число шагов мы дойдем до произвольного наперед заданного элемента M и значит, мы можем перенумеровать элементы M, т.е. M счетно. Ч.т.д.

Теорема 2. Объединение не более чем счетного числа не более чем счетных множеств не более чем счетно. Доказательство. Пусть Ei = {xi1,xi2,xi3,…} – набор не более чем счетных множеств и E = ∪∞ i=1Ei. Нумеруем элементы E в соответствии со схемой

пропуская на каждом шаге те элементы, которые были занумерованы ранее. Очевидно, что мы дойдем до каждого элемента объединения за конечное число шагов и таким образом занумеруем все множество E.

Следствие 2. Множество целых чисел и множество рациональных чисел счетны.

Доказательство. Множество целых чисел есть объединение N∪(−N)∪{0} и значит счетно. Положим E1 = {1/q: q ∈ N}, E2 = {−1/q: q ∈ N}, E3 = {2/q: q ∈ N}, E4 = {−2/q: q ∈ N}, …. Множество рациональных чисел есть счетное объединение множеств Ek, каждое из которых счетно и значит само является счетным.

Теорема 3. Множество вещественных чисел не счетно.

Доказательство. В силу леммы 1 достаточно доказать, что отрезок (0,1) не счетное множество. Предположим противное, что это счетное множество. Тогда его можно занумеровать: (0,1) = {x1,x2,…,}. Запишем каждое из чисел xi в виде десятичной дроби: xi = 0.xi1 xi2 xi3 …. Для каждого n найдем число an: 0 n n 6= xnn. Это очевидно возможно. Построим число a = 0.a1 a2 a3 …. Оно принадлежит интервалу (0,1) и значит совпадает с каким-то из чисел xi, т.е. найдется i0: xi0 = a. Но тогда xi0i0 = ai0, противоречие. Ч.т.д.

Верхние и нижние грани. Супремум и инфимум. Основное свойство супремума и инфимума.

Множество вещественных чисел и его подмножества. Грани множества на числовой прямой. Множество A ⊂ R называется ограниченным сверху, если ∃M ∈ R: x ≤ M ∀x ∈ A. Число M называется при этом верхней гранью множества A.

Определение 1. Наименьшая из всех верхних граней множества A называется точной верхней гранью множества A или супремумом и обозначается через sup A = supxA x. Множество A ⊂ R называется ограниченным снизу, если ∃m ∈ R: m ≤ x ∀x ∈ A. Число m называется при этом нижней гранью множества A.

Определение 2. Наибольшая из всех нижних граней множества A называется точной нижней гранью множества A или инфимумом и обозначается inf A = infxA x. Если множество A не ограничено сверху (снизу), по определению полагаем, что supA = +∞, (inf A = −∞). Множество A ⊂ R называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу. Из определений вытекает, что множество A ограничено тогда и только тогда, когда оно содержится в некотором конечном промежутке [m, M].

Теорема 1. (основное свойство супремума и инфимума). Число M является точной верхней (нижней гранью) множества X ⇔ M – верхняя (нижняя) грань X и ∀ε > 0 ∃x ∈ X: x > M − ε (x

Доказательство. Пусть M = sup X. Если не существует x: x > M − ε, то x ≤ M − ε ∀x ∈ X и тогда (M –ε) – верхняя грань, что противоречит тому, что M – точная верхняя грань. Обратно, пусть M – верхняя грань и ∀ε > 0 ∃x ∈ X: x > M − ε. Предположим противное, что M не является точной верхней гранью. Тогда найдется верхняя грань M11 и найдем x ∈ X: x > M −ε = M1. Таким образом, M1 – не верхняя грань, противоречие. Пусть M = inf X. Из определений вытекает, что число M есть инфимум множества X ⇔ −M – супремум множества −X = {−x: x ∈ X}. Тогда утверждение в случае инфимума вытекает из уже доказанного. Ч.т.д.

Замечание 1. Можно утверждение теоремы 1 взять в качестве эквивалентного определения супремума и инфимума. Важными примерами числовых множеств являются: интервал (a, b), отрезок (промежуток) [a, b] полуинтервалы [a, b), (a, b]. Пусть a ∈ R. Тогда множество (a − ε,a + ε) называется ε-окрестностью точки a. Множество X называется окрестностью точки a ∈ R, если найдется ε-окрестность U точки a: U ⊂ X. Иногда удобно дополнить множество вещественных чисел бесконечными числами +∞,−∞,∞. Множество X называется окрестностью точки +∞, −∞, или ∞, если найдется такое число M > 0, что (M,+∞) ⊂ X, (−∞,M) ⊂ X, или (−∞,M) ∪ (M,+∞) ⊂ X, соответственно. Приведем одно вспомогательное утверждение, которое вытекает непосредственно из определения вещественного числа, и будет использоваться позднее.

Лемма 1 (принцип вложенных отрезков). Пусть [a1,b1] ⊃ [a2,b2] ⊃ [a3,b3] ⊃ … – последовательность вложенных промежутков. Тогда найдутся числа a, b ∈ R: a ≤ b и ∩i=1[ai,bi] = [a,b].

Числовая последовательность и ее предел. Эквивалентность различных определений предела.

Отображение F: N → R (или F: N → C) называется числовой последовательностью. Величина F(n) обычно обозначается через xn и называется элементом последовательности. Обычно последовательность с элементами x1,x2,x3,… обозначают через {xn}. Мы будем рассматривать далее последовательности вещественных чисел, хотя основные утверждения остаются верными и в комплексном случае.

Говорим, что последовательность xn не убывает (возрастает), если из того что n > m вытекает, что xn ≥ xm (xn > xm). Говорим, что последовательность xn не возрастает (убывает), если из того что n > m вытекает, что xn ≤ xm (xnm). Не убывающая или не возрастающая последовательность называется монотонной последовательностью. В зависимости от того, будет ли множество A, состоящее из членов последовательности, ограниченным или ограниченным снизу (сверху), назовем последовательность ограниченной или ограниченной снизу (сверху). Таким образом, если последовательность {xn} ограничена, то существует число M: |xn| ≤ M ∀n.

Определение 1. Число a называется пределом последовательности xn при n → ∞, если ∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N |xn − a|

Определение 2. Число a ∈ R называется пределом последовательности xn при n → ∞, если для любой окрестности U точки a существует номер N: xn ∈ U при всех n > N, или другими словами, вне любой окрестности точки a содержится конечное или пустое множество членов последовательности. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся последовательностью. Если число a – предел последовательности xn, то пишем a = lim n→∞ xn или xn → a при n → ∞. Если a – конечное число, то определения 1 и 2 эквивалентны.

Теорема 1 (о эквивалентности определений предела). Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство. Пусть справедливо определение 1 и U — окрестность точки a. Существует ε-окрестность Uε точки a такая, что Uε ⊂ U. В силу определения 1 найдется номер N: |xn − a| N. Но тогда xn ∈ Uε ⊂ U ∀n > N. Обратно, пусть выполнено определение 2. Возьмем в качестве окрестности U ε-окрестность Uε точки a. По условию найдется номер N: xn ∈ Uε ∀n > N. Но тогда |xn − a| N. Ч.т.д.

Ограниченность последовательности, имеющей конечный предел. Теоремы о сравнении пределов. Единственность предела.

Теорема 1. Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Доказательство. Пусть последовательность xn → a. Возьмём произвольное число ε > 0, например ε = 1. Для этого фиксированного значения ε существует свой фиксированный номер N такой, что при всех n > N будет выполняться |xn −a| n| ≤ 1 + |a| при всех n > N. Возьмем M = max(|x1|,|x2|,…,|xN|,1 + |a|). Тогда |xn| ≤ M ∀n. Следовательно, xn ограничена. Ч.т.д.

Теорема 2 (о предельном переходе в неравенстве). Пусть xn → a, yn → b при n → ∞ и xn ≤yn ∀n. Тогда a ≤ b.

Доказательство. Предположим противное, что a > b. Возможны два случая: a 1,N2 такие, что |xn − a| N1 и |ym − b| N2. Тогда при n > max(N1,N2) ynn, а это противоречит условию. Случай a = +∞ также невозможен, поскольку по теореме 1 последовательность yn ограничена и значит, ограничена сверху, а тогда и последовательность xn ограничена сверху, а это невозможно, поскольку xn → +∞.

Следствие 1. Предел последовательности, если он существует единственен.

Доказательство. Пусть xn → a при n → ∞ и xn → b при n → ∞. Имеем неравенство xn ≤ yn = xn. Тогда по теореме 2 a ≤ b. Аналогично получим, что b ≤ a и значит a = b.

Теорема 3 (о зажатой переменной). Пусть xn → a, yn → a при n → ∞ и xn ≤ zn ≤ yn ∀n, причем a ∈ R или a = ±∞. Тогда ∃lim n→∞ zn = a.

Доказательство. Возьмем произвольную окрестность U точки a. Найдется ε-окрестность U0 точки a, если a – конечная точка и окрестность U0 вида {x > M} или {x 0), если a = +∞ или a = −∞, такая, что U0 ⊂ U. По определению можем найти номер N (одни и тот же для обоих последовательностей) такой, что xn,yn ∈ U0 при всех n > N. Тогда очевидно, что zn ∈ U0 ⊂ U при всех n > N.

Арифметические свойства пределов (предел суммы, произведения, частного).

Теорема 4 (об арифметических свойствах предела). Если ∃lim n→∞ xn = a, ∃lim n→∞ yn = b и a,b – конечные числа, то

1) ∃ lim n→∞ (xn ± yn) = a ± b;

2) ∃ lim n→∞ xn · yn = a · b;

3) если b 0, то ∃ lim n→∞xn/yn = a/b.

Доказательство.

1) Возьмем ε > 0 и найдем номер N такой, что |xn − a| n −b| N. Тогда |(xn ±yn)−(a±b)| ≤ |xn −a|+|yn −b| N. В силу произвольности ε ∃ lim n→∞ (xn ± yn) = a ± b.

2) По теореме 1 последовательность yn ограничена и значит, найдется число M > 0: |yn| ≤ M ∀n. Тогда имеем неравенство |xnyn − ab| = |(xn − a)yn + a(yn − b)| ≤ M|xn − a| + (|a| + 1)|yn − b| n. (1)

Возьмем ε > 0 и по определению найдем номера N1, N2 такие, что |xn − a| m − b| N1, m > N2. Тогда из (1) получим, что при n > max(N1,N2) |xnyn − ab| 1: при n > N1 |yn − b| n| n| ≥ |b|/2 при n > N1. Оценим n > N1 разность |xn/ yn – a/b| = |xnb − yna|/ |ynb| ≤ (|xn − a||b| + |yn − b||a|)/|yn||b| ≤ 2|xn − a|/|b| + (2|yn − b||a|)/ |b|2 (2)

Найдем номера N2, N3: при n > N2 |xn−a| N3 |yn−b| 2/(2(1+|a|). Тогда из (2) получим, что при n > max(N1,N2,N3) |xn/yn – a/b| ≤ ε/2 + ε/2 = ε. Ч.т.д.

Теорема о пределе произведения (частного) последовательностей.

Теорема о пределе монотонной последовательности.

Теорема 7 (о пределе монотонной последовательности). Пусть последовательность xn не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу). Тогда существует конечный lim n→∞ xn. Доказательство. Пусть, например, последовательность xn не убывает и ограничена сверху. Положим A = {x1,x2,x3,…} и β = sup nN xn = sup A. Покажем, что ∃ lim n→∞ xn = β. Возьмем ε > 0. В силу свойств супремума, найдется число xn0 ∈ A: β − ε n0 ≤ β. Поскольку последовательность не убывает, β − ε n ≤ β ∀n ≥ n0 и значит |xn − β| 0. Таким образом, ∃ lim n→∞ xn = β. Пусть теперь последовательность xn не возрастает и ограничена снизу. Тогда последовательность -xn не убывает и ограничена сверху. По доказанному, ∃ lim n→∞ (-xn) = − lim n→∞ xn. Ч.т.д.

Определение 1. Пусть дана последовательность xn и n1,n2,… – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда множество xn1,xn2,xn3,… называется подпоследовательностью последовательности xn. Подпоследовательность {xnk} сама является последовательностью и мы можем рассматривать вопрос о ее сходимости. Предел подпоследовательности последовательности {xn} называется частичным пределом последовательности {xn}, а наибольший и наименьший из частичных пределов последовательности называются верхним и нижним пределом последовательности и обозначаются так:

__

lim n→∞ xn, lim n→∞xn.

Если последовательность не ограничена сверху (снизу) полагаем по определению, что lim n→∞xn = +∞ (lim n→∞ xn = −∞).

Подпоследовательности, частичные пределы, теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема 8 (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Поскольку последовательность ограничена найдутся числа m,M: m ≤ xn ≤ M ∀n. Разделим отрезок [m,M] пополам и обозначим через ∆1 ту половину, которая содержит бесконечное количество членов последовательности. Возьмем любой член последовательности xn1 ∈ ∆1. Разделим ∆1 пополам и обозначим через ∆2 ту половину, которая содержит бесконечное количество членов последовательности. Выберем в ∆2 член последовательности xn2 с n2 > n1. Повторяя рассуждения, построим последовательность вложенных промежутков ∆n = [an,bn] такую, что bn − an → 0 при n → ∞ и каждый отрезок [an,bn] содержит бесконечное количество членов последовательности и строим подпоследовательность xnk ∈ ∆k. По принципу вложенных промежутков, существует точка a ∈ ∩i=1∆i. Покажем, что a = lim k→∞ xnk. Возьмем ε > 0 и найдем N: ∀k > N ∆k ⊂ (a−ε,a+ε) (что выполнено, если bk −aknk −a| N. Ч.т.д.

Следствие 1. Из всякой последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к конечному числу или к ±∞.

Свойства подпоследовательностей (существование предела при совпадении частичных пределов).

Теорема 9 (о свойствах частичных пределов). Последовательность {xn} имеет предел равный a ⇔ любая ее подпоследовательность сходится к a.

Доказательство. Если последовательность xn имеет предел равный a, то вне любой окрестности точки a содержится конечное или пустое множество членов последовательности. Тогда и подпоследовательность обладает теми же свойством и значит имеет предел равный числу a. Обратно, пусть все подпоследовательности сходятся и сходятся к одному и тому же числу a. Покажем, что a = lim xn. Если это не так, то найдется окрестность U точки a, вне которой находится бесконечное количество членов последовательности. Эти члены образуют некоторую подпоследовательность, которая не сходится к a, противоречие.

Верхний и нижний пределы, их свойства.

Теорема 10 (о свойствах нижнего и верхнего предела). Последовательность {xn} имеет предел ⇔ lim n→∞ xn = lim n→∞ xn.

Доказательство. Если последовательность имеет предел, то все частичные пределы совпадают и значит lim n→∞ xn = lim n→∞ xn. Обратно, пусть lim n→∞ xn = lim n→∞ xn = a. Если последовательность xn предела не имеет, то найдется окрестность точки a, вне которой содержится бесконечное количество членов последовательности. Эти члены образуют некоторую под-последовательность. Без ограничения общности считаем, что эта подпоследовательность сходится, иначе выделим из нее сходящуюся подпоследовательность, используя следствие из теоремы Больцано-Вейерштрасса. Однако, эта сходящаяся подпоследовательность не может сходиться к a. Тогда равенство lim n→∞ xn = lim n→∞ xn = a невозможно, противоречие. Ч.т.д.

Теорема 11 (о существовании верхнего и нижнего предела). Верхний и нижний пределы существуют у любой последовательности.

Доказательство. Если мы покажем существование верхнего предела, то отсюда вытекает и существование нижнего предела, поскольку нижний предел последовательности будет очевидным образом совпадать с − lim n→∞ (-xn). Покажем существование верхнего предела. Если предел последовательности существует, то по определению верхнего и нижнего предела и теореме 9 получим, что верхний предел существует и совпадает с пределом последовательности xn. Если последовательность не ограничена сверху, то существует подпоследовательность xnk: xnk → +∞ при k → ∞. Тогда верхний предел существует и совпадает с +∞. Таким образом, осталось рассмотреть случай, когда последовательность xn ограничена сверху и предела не имеет. Тогда вне некоторой окрестности -∞ содержится бесконечное количество членов последовательности. Эти члены образуют ограниченную подпоследовательность и значит по теореме Больцано-Вейерштрасса, сама последовательность имеет по крайней мере один конечный частичный предел. Пусть A – множество частичных пределов последовательности xn. Множество A не пусто и ограничено сверху. Пусть β = sup A. Рассмотрим последовательность εk = 1/k. Для каждого номера k можем найти частичный предел a ∈ A: β − εk/2 nk: |xnk −a| k/2. Тогда |xnk −β| k → 0 при k → ∞. Таким образом, β ∈ A и множество частичных пределов имеет наибольший элемент. Ч.т.д.

Критерий Коши для последовательностей.

Теорема 12 (критерий Коши для последовательностей). Последовательность имеет конечный предел ⇔ ∀ε > 0 ∃N : ∀n,m > N |xn − xm| 0 ∃N: ∀n,m > N |xn − xm|

Доказательство. Пусть ∃ lim n→∞ xn = a 0 найдем номер N: |xn − a| N. Тогда

|xn − xm| ≤ |xn − a| + |xm − a| N

и значит условие Коши выполнено. Обратно, пусть выполнено условие Коши. Возьмем ε = 1 и найдем номер N : ∀n,m > N |xn−xm| N. Из последнего неравенства имеем, что |xn| ≤ |xm|+ε ∀n > N и значит последовательность xn ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса найдется сходящаяся подпоследовательность xnk → a при k → ∞. Фиксируем ε > 0 и найдем N: ∀n,m > N |xn − xm| K |xnk − a| N. Фиксируем такое k. Тогда при всех n > N

|xn − a| ≤ |xnk − xn| + |xnk − a|

Отсюда получим, что xn → a. Ч.т.д.

Предел функции, определение предела на языке окрестностей, последовательностей, на языке ε, δ. Их эквивалентность.

Пусть E ⊂ R – числовое множество и f : E → R – числовая функция. Для числовых функций f,g : E → R определены операции сложения, вычитания, умножения и деления: f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x)/g(x). Если f отображает множество E в E1 а g отображает E2 в E3 и E1 ⊂ E2, то можно определить сложную функцию F(x) = g(f(x)), которая еще называется суперпозицией функций g и f и обозначается g ◦ f. Функция F будет также определена на E. Множество пар (x,f(x)) (x ∈ D(f)) называется графиком функции f. Пусть U – окрестность точки a. Тогда множество U\{a} называется проколотой окрестностью точки a. В частности, если U – ε-окрестность точки a, то это множество называется проколотой ε-окрестность точки a.

Определение 1 (определение предела функции в точке в смысле Коши). Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если f определена в некоторой проколотой окрестности U точки a и для любого ε > 0 ∃δ > 0: |f(x) − b|

Определение 2 (определение предела функции в точке в смысле Гейне). Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если f определена в некоторой проколотой окрестности точки a и для любой последовательности xn → a при n → ∞ такой, что xn 6= a ∀n, выполняется, что f(xn) → b при n → ∞.

Определение 3 (определение предела функции на языке окрестностей). Число b называется пределом функции f(x) при x → a, если f определена в некоторой проколотой окрестности точки a и для любой окрестности V точки b найдется проколотая окрестность U точки a такая, что f(U) ⊂ V .

Определение 1 имеет смысл только, если a,b – конечные точки, в то же время определения 2, 3 могут быть использованы и если a,b = ±∞,∞. Если число b является пределом функции f при x → a, то пишем b = lim x→a f(x).

Теорема 1 (о эквивалентности определений). Пусть b – конечная точка. Тогда определения 1-3 эквивалентны.

Доказательство. Пусть выполнено определение 1. Возьмем последовательность xn → a при n→∞, xn a. Пусть ε > 0, найдем δ > 0: |f(x) − b| n −a| N. Тогда и |f(xn)−b| n) → b при n → ∞. Обратно, пусть выполнено определение 2. Предположим противное, что определение 1 неверно. Тогда ∃ε > 0: ∀δ > 0 ∃x: |x−a| n = 1/n и найдем соответствующие числа xn: |xn−a|n) -/→ b, противоречие. Т.о., определения 2 и 1 эквивалентны. Покажем, что определение 1 и 3 эквивалентны. Пусть выполнено определение 1. Возьмем окрестность V точки b. По определению окрестности найдется ε-окрестность V0 точки b: V0⊂V . По определению 1 найдется δ > 0: |f(x) − b| 0 ⊂ V . Обратно, пусть выполнено определение 3. Возьмем ε-окрестность V точки b и найдем по определению 3, что ∃ проколотая окрестность U точки a такая, что f(U) ⊂ V . Но проколотая окрестность U точки a содержит некоторую проколотую δ-окрестность U0 точки a такую, что U0 ⊂ U и значит f(U0) ⊂ f(U) ⊂ V . Отсюда вытекает, что |f(x)−b| ≠ a : |x−a|

Теоремы о сравнении пределов функций.

Теорема 2. Если существует конечный предел limx→a f(x) = A, то найдется проколотая окрестность точки a, в которой функция ограничена.

Доказательство. Возьмем окрестность V = (A − 1,A + 1) точки A и найдем проколотую окрестность U точки a такую, что f(U) ⊂ V . Тогда |f(x)−A|

Теорема 3. Если существуют пределы limx→a f(x) = A1, limx→a g(x) = A2 и f(x) ≤ g(x) в некоторой проколотой окрестности U точки a, то A1 ≤ A2.

Доказательство. Пусть xn → a, xna. Тогда найдется номер N: xn ∈ U ∀n > N и значит f(xn) ≤ g(xn) для всех таких n. По теореме о сравнении пределов последовательностей, A1 ≤ A2. Ч.т.д.

Теорема 4. Если существуют пределы limx→a f(x) = A, limx→a g(x) = A и f(x) ≤ ψ(x) ≤ g(x) в некоторой проколотой окрестности U точки a, то ∃ limx→a ψ(x) = A.

Доказательство. Пусть xn → a, xn a. Тогда найдется номер N: xn ∈ U ∀n > N и значит f(xn) ≤ ψ(xn) ≤ g(xn) для всех таких n. По теореме о теореме о двух милиционерах, ∃ limn→∞ ψ(xn) = A. Поскольку это выполнено для любой последовательности xn, по определению предела в смысле Гейне, ∃ limx→a ψ(x) = A. Ч.т.д.

Предел произведения, частного, суммы функций.

Теорема 5. (об арифметических свойствах предела функции). Если существуют конечные limx→a f(x) = A, limx→a g(x) = B, то

a) ∃ limx→a(f(x) ± g(x)) = A ± B;

b) ∃ limx→a f(x)*g(x) = A* B;

c) если B0, то ∃ limx→a f(x)/g(x) = A/B.

Доказательство. Пусть xn → a, xna. Тогда по теореме о арифметических свойствах пределов для последовательностей ∃ limn→∞(f(xn)±g(xn)) = A±B, ∃ limn→∞ f(xn)*g(xn) = A·B и если B0, то ∃ limn→∞ f(xn)/g(xn) = A/B. В силу произвольности последовательности xn и определения предела по Гейне, получим утверждение теоремы. Ч.т.д.

Теорема 6. Если функция f(x) ограничена в некоторой проколотой последовательности U точки a и ∃ limx→a ϕ(x) = 0 (∃ limx→a ϕ(x) = ∞), то ∃ limx→a f(x)ϕ(x) = 0 (∃ limx→a f(x)/ϕ(x) = 0).

Доказательство. Утверждение вытекает из теоремы 5 о пределах последовательностей и определения предела функции по Гейне.

Критерий Коши для пределов функций.

Теорема 7 (критерий Коши). Для того чтобы существовал конечный предел limx→a f(x) необходимо и достаточно, чтобы f(x) была определена в некоторой проколотой окрестности точки a и ∀ε > 0 ∃ проколотая окрестность U точки a такая, что |f(x)−f(y)|

Доказательство. Пусть ∃ limx→a f(x) = A 0 и найдем проколотую окрестность U точки a: |f(x) − A|

|f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − A| + |f(y) − A|

Обратно, возьмем произвольную последовательность xn → a, xn 6= a ∀n. Тогда последовательность f(xn) удовлетворяет условиям критерия Коши для последовательностей. Действительно, возьмем ε > 0 и найдем проколотую окрестность U точки a такую, что |f(x) − f(y)| n ∈ U для всех n > N. Тогда |f(xm) − f(xn)| N. По критерию Коши для последовательностей, существует конечное число A такое, что f(xn) → A при n → ∞. В силу произвольности xn, можем заключить, что для любой последовательности xn, сходящейся к a, существует конечный предел f(xn). Покажем, что все эти пределы совпадают. Действительно, пусть xn,yn → a, xn,yn a ∀n и f(xn) → A, f(yn) → B, причем A B. Рассмотрим последовательность {zn}: x1.y1,x2,y2,…. По доказанному предел f(zn) существует и конечен. С другой стороны, последовательность f(zn) имеет две подпоследовательности f(xn),f(yn), сходящиеся к двум разным пределам. Противоречие. Значит пределы всех последовательностей совпадают. По определению предела в смысле Гейне получим, что существует конечный предел limx→a f(x). Ч.т.д.

Говорим, что функция f(x) не убывает (не возрастает, убывает, возрастает) на интервале (a,b), если из того, что x1 f(x2), f(x1) a} и {x ∈ U: x

Монотонные функции. Правый и левый пределы.

Определение 10. Число A называется правым (левым) пределом функции f при x → a, если f определена в некоторой правой (левой) окрестности точки a и для любого ε > 0 найдется δ > 0 ∀x : |x−a| a (∀x : |x−a|

Определение 20. Число A называется правым (левым) пределом функции f при x → a, если f определена в некоторой правой (левой) окрестности точки a и для любой последовательности xn → a, xn > a (xn

Определение 30. Число A называется правым (левым) пределом функции f при x → a, если f определена в некоторой правой (левой) окрестности точки a и для любой окрестности V точки A найдется правая (левая) окрестность U точки a такая, что f(U) ⊂ V .

Если A – правый (левый) предел функции f при x → a, то пишем

A = f(a + 0) = lim x→a+0f(x) = lim x→a, x>af(x) (A = f(a − 0) = lim x→a−0f(x), lim x→a,x

Пределы слева и справа еще называются односторонними пределами. Все теоремы сфор-мулированные выше остаются справедливыми и для односторонних пределов. Как следствие определений имеем, что Следствие 1.

∃ lim x→a

f(x) ⇔ ∃ lim x→a+0f(x), ∃ lim x→a−0f(x) и lim x→a−0f(x) = lim x→a+0f(x).

Теорема о существовании предела монотонной функции.

Теорема 8 (о пределе монотонной функции). Пусть f(x) не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) на (a,b). Тогда существуют конечный предел lim x→b−0 f(x). Аналогично, если f(x) не убывает (не возрастает) и ограничена снизу (сверху) на (a,b), то существует конечный предел lim x→a+0 f(x).

Доказательство. Пусть f(x) не убывает и ограничена сверху. Остальные случаи рассматриваются аналогично. Найдем supx∈(a,b) f(x) = M. Возьмем окрестность V точки M. Найдется ε-окрестность Vε точки M такая, что Vε ⊂ V . По определению супремума найдем точку x0 ∈ (a,b): f(x0) > M −ε. Тогда, в силу монотонности, для всех x ∈ U = (x0,b) будет выполнено, что f(x) ∈ Vε ⊂ V , т.е. f(U) ⊂ V . Таким образом, ∃ lim x→b−0 f(x) = M. Ч.т.д.

Первый и второй замечательные пределы.

1. Первый замечательный предел:

lim x→0sinx x=1.

Доказательство. Рассмотрим круг с центром в точке O радиуса R и пусть C – точка, лежащая вне круга. Соединим точку C с точкой O и обозначим через B точку пересечения отрезка OC c окружностью. Проведем через точку C касательную к кругу и обозначим точку касания через A. Обозначим через x величину угла AOC в радианах. Тогда геометрически легко увидеть, что SAOBAOC, (1) где SAOB – площадь треугольника AOB, Ssec – площадь сектора AOB и SAOC – площадь треугольника AOC. Имеем, что

SAOB =1/2*R2 sin x, Ssec =1/2*R2x, SAOC =1/2R2 tg x.

Подставляя это в неравенство (1), получим

Sin x

Из этого неравенства заключаем, что

сos x

2. Второй замечательный предел:

lim x→0 (1 + x)1/x = e.

Доказательство. По определению e = lim n→∞xn, xn = (1 +1/n)n.

Отсюда вытекает, что и для любой последовательности натуральных чисел nk такой, что limk→∞ nk = ∞ выполнено, что e = limk→∞ xnk. Действительно, по данному ε > 0 найдем число N такое, что |e − xn| N. Далее, можем найти k0: такое, что nk > N при k > k0. Тогда |e − xnk| k0. Таким образом, для любой последовательности натуральных чисел nk такой, что limk→∞ nk = ∞ будем иметь, что

(1 +1/nk)nk → e при k → ∞. (2)

Пусть xk — произвольная последовательность такая, что xk → 0 и xk > 0. Тогда 1/xk → +∞ и найдется натуральное число nk такое, что nk ≤ 1/xk ≤ nk + 1.

Имеем, что

(1 + xk)1/xk ≤ (1 + 1/nk)nk+1 = (1 + 1/nk)nk(1 + 1/nk) → e

(1 + xk)1/xk ≥ (1 + 1/(nk + 1))nk = (1 + 1/(nk + 1))nk+1/(1 + 1/nk) → e.

По теореме о двух милиционерах (1 + xk)1/xk → e.

В силу произвольности последовательности xk∃ lim x→0+0 (1 + x)1/x = e.

Пусть теперь xk — произвольная последовательность такая, что xk → 0 и xkk = −xk. Тогда

(1 + xk)1/xk = (1 − yk)-1/yk = (1 +yk/(1 − yk))1/yk = (1 +yk/(1 − yk))(1/yk)/yk(1 +yk/(1 − yk)) → e

по доказанному. Следовательно,

∃ lim x→0−0 (1 + x)1/x= e.

∃ lim x→0 (1 + x)1/x = e.Ч.т.д.

Следствие 1. lim x→0 arcsin x/x = lim x→0 tgx/x = 1. Доказательство. Имеем, сделав замену x = sint и воспользовавшись непрерывностью функций sin t, arcsin x, cos x, что

lim x→0arcsinx/x= lim t→0t sint= 1.

lim x→0tgx/x= lim x→0sinx*cos x /x = lim x→0sinx/x* lim x→0cos x = 1.

Следствие 2.



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | ... | Вперед → | Последняя | Весь текст